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小さい

 小さい数を挙げよと言われれば、おそらく、誰でも0.1などと答えるだろう。そのイメージで言えば、-100が1より小さいということは感覚に反することである。

 中学の数学で初めてマイナスの数を習ったときに理解し損ねる要因の一つが、この感覚とのズレである。日常用語での「小さい」は柄が小さい、つまり絶対値が小さいことを意味する。しかし、数学の「小さい」は自然数の大小を延長して定義される順序関係だから、マイナスの数については、感覚に反することになる。

 この「誤解」を理解して指導しないと、学習する側はいたずらに混乱するだろう。

 因みに、「小さい」は「≦」と定義した方が、理論的にはすっきりする。等号が入ることよりも入らないことに意味があることが多いからだ。この場合、「<」は「真に小さい」と読み、順序関係は

A≦A              (反射率)

A≦B,B≦C ⇒ A≦C   (推移律)

A≦B,B≦A ⇒ A=B   (反対称律)

が成立する関係ということになる。


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